Tuyển tập các đề Toán Hình học ôn thi vào lớp 10 (có lời giải)

Thứ tư - 08/11/2017 02:40

Tuyển tập các đề Toán Hình học ôn thi vào lớp 10 (có lời giải)

Để phục vụ cho việc ôn thi vào lớp 10 môn Toán Hình học của các em được tốt hơn, mời các em cùng tham khảo một số dạng bài toán Hình có lời giải chi tiết sau.
Thấu hiểu được việc luyện đề vô cùng quan trọng với các em học sinh lớp 9 cuối cấp, do đó bên cạnh việc cung cấp các bài giảng Toán lớp 9 online miễn phí, cùng đề thi trắc nghiệm thì các dạng bài tập tự luận có lời hướng dẫn giải là rất cần thiết cho các em.

Với một số dạng bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải chi tiết này hy vọng các em sẽ dễ dàng ôn tập và đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới.

Bài 1: Cho nửa đường tròn  đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn  kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
 
1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh góc COD = 900.
3. Chứng minh AC. BD = AB24  .
4.Chứng minh  OC // BM
5. Chứng minh AB  là tiếp tuyến của đường tròn  đường kính CD.
6. Chứng minh MN vuông góc AB.
7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.

 
Hướng dẫn giải:  
 
tuyen tap de toan hinh hoc on thi vao lop 10 co loi giai 01
 
1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD

2.    Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù => góc COD = 900.

3.    Theo câu 2 trên góc COD = 900 nên tam giác  COD vuông tại O có OM vuông góc CD ( OM là tiếp tuyến ).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM,  
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = AB24.

4.   Theo trên Góc COD = 900 nên OC vuông góc OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM vuông góc OD .(2).
Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD)

5.   Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC vuông góc  AB; BD vuông góc AB => AC // BD
=> tứ giác ACDB là hình thang.
Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB 
Suy ra IO // AC , mà AC vuông góc AB => IO vuông góc AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn  đường kính CD 

6. Theo trên AC // BD => CNBN=ACBD , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra  CNBN=CMDM
=> MN // BD mà BD vuông góc AB => MN vuông góc AB.

7. Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB
=> M phải là trung điểm của cung AB.

Bài 2: Cho đường tròn  (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vuông góc MB, BD vuông góc MA,  gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
 
1.    Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2.    Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
3.    Chứng minh  OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
4.    Chứng minh OAHB là hình thoi.
5.    Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6.    Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

Lời giải:

tuyen tap de toan hinh hoc on thi vao lop 10 co loi giai 02
1.    Học sinh tự làm
2.    Vì K là trung điểm NP nên OK vuông góc NP (quan hệ đường kính và dây cung) => góc OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có góc OAM = 900; góc OBM = 900, như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. 
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 

3.  Ta có MA = MB ( theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R 
     => OM là trung trực của AB => OM  AB tại I .
Theo tính chất tiếp tuyến ta có góc OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.

4. Ta có OB vuông góc MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC vuông góc MB (giả thiết) => OB // AC hay OB // AH.
OA vuông góc MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD vuông góc MA (giả thuyết) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.

5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH vuông góc AB; cũng theo trên OM vuông góc AB => O, H, M thẳng hàng (Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).

6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn  tâm A bán kính AH = R.

Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  và  điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM  cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
 
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3)  Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác  AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí  M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

Lời giải:  

tuyen tap de toan hinh hoc on thi vao lop 10 co loi giai 03
1. Ta có : góc AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
=> góc KMF = 900 (vì là hai góc kề bù).
góc AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
=> góc KEF = 900 (vì là hai góc kề bù).
=> góc KMF + góc KEF = 1800 . Mà góc KMF và góc KEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.
  
2.    Ta có góc IAB = 900 (vì AI là tiếp tuyến) => góc AIB vuông tại A có AM vuông góc IB ( theo câu trên). 
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB.

3.    Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => góc IAE = góc MAE => AE  =  ME  
=> góc ABE =góc MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
=> BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có góc AEB = 900 => BE vuông góc AF hay BE là đường cao của tam giác  ABF (2).
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân tại B (đpcm).

4.    BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)
Từ BE vuông góc  AF => AF vuông góc HK (4), theo trên AE là  tia phân giác góc IAM hay AE là  tia phân giác góc HAK  (5) 
Từ  (4) và (5) => HAK là tam giác cân tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).
Từ  (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).

5.    (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK =>  tứ giác AKFI là hình thang. 
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn  thì AKFI phải là hình thang cân. 
AKFI  là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. 
Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => góc ABM = góc MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7)
Tam giác  ABI vuông tại A có góc ABI = 450 => góc AIB = 450 .(8)
Từ  (7) và (8) => góc IAK = góc AIF = 450 => AKFI  là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).
Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.


Bài 4. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến  Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
1.    Chứng minh AC. AE không đổi.
2.    Chứng minh  góc ABD = góc DFB.
3.    Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

 
Lời giải
 
tuyen tap de toan hinh hoc on thi vao lop 10 co loi giai 04
1.    C thuộc nửa đường tròn  nên góc ACB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => BC vuông góc AE. 
Góc ABE = 900 (Bx là tiếp tuyến) => tam giác  ABE vuông tại B có BC là đường cao
=> AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.

2.    Tam giác  ADB có góc ADB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn).
=> góc ABD + góc BAD = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (1)
Tam giác  ABF có góc ABF = 900 ( BF là tiếp tuyến ).
=> góc AFB + góc BAF = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (2)

Từ  (1) và (2) => góc ABD = góc DFB ( cùng phụ với góc BAD)

3.    Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => góc ABD + góc ACD = 1800 .
góc ECD + góc ACD = 1800 (hai góc kề bù) => góc ECD = góc ABD ( cùng bù với góc ACD).
Theo trên góc ABD = góc DFB => góc ECD = góc DFB. Mà góc EFD + góc DFB = 1800 (Vì là hai góc kề bù) nên suy ra  góc ECD + góc EFD = 1800, mặt khác góc ECD và góc EFD là hai góc đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp.

(còn tiếp)....

Tác giả bài viết: Nguyễn Thủy

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết
Hỏi đáp, thảo luận

Các cách kiếm xu trên website Dạy Tốt Online

Kiếm thêm xu trên Dạy tốt online chưa bao giờ đơn giản đến thế!   BQT online.daytot.vn xin "bật mí" đến toàn thể khách hàng là thành viên, học sinh của website những cách thêm xu vào tài khoản để có thêm nhiều cơ hội tham gia học bài cũng như những hoạt động hấp dẫn của Dạy tốt Online...

Chúng tôi trên Facebook
Thăm dò ý kiến

Bạn biết đến Dạy Tốt từ kênh nào?

Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây